Сто­ро­на сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­это­му от­ку­да Пусть

Объём приз­мы равен

Объём от­се­чен­ной приз­мы равен от­ку­да

Ответ: 30.

Диа­го­наль­ное се­че­ние пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник SDB, для ко­то­ро­го: сле­до­ва­тель­но,

Тогда Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Так как бо­ко­вые ребра об­ра­зу­ют с вы­со­той рав­ные углы, ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты яв­ля­ет­ся центр опи­сан­ной во­круг ABCD окруж­но­сти, то есть точка O.

Объём пи­ра­ми­ды SABCD равен Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка можно найти как по­лу­про­из­ве­де­ние диа­го­на­лей d на синус угла между ними Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOA най­дем по­ло­ви­ну диа­го­на­ли ос­но­ва­ния:

Пло­щадь равна Тогда объём пи­ра­ми­ды равен: По­это­му

Ответ: 147.

Пусть M  — се­ре­ди­на AA₁, про­ве­дем MN || DP, N про­ве­дем KP||OM, K Таким об­ра­зом, MNKPD  — ис­ко­мое се­че­ние.

NK пе­ре­се­ка­ет С₁D₁ в точке L, а сто­ро­ну A₁D в точке F. Тре­уголь­ни­ки C₁PL и DCP по­доб­ны: тогда тогда

Тре­уголь­ни­ки LC₁K и FLD₁: Ана­ло­гич­но на­хо­дим от­но­ше­ние

Пусть AA₁  =  x, AD  =  y, CD  =  z.

Объём FD₁DL равен

Объём FA₁NM равен

Объём KC₁PL равен

Тогда

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, это ис­ко­мый объём. Тогда его объём равен 724.

Ответ: 724.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMH и ASO: от­ку­да Точка O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, в нее про­еци­ру­ет­ся вы­со­та SO. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна a, тогда вы­со­та Из свой­ства бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке SLA:

Тре­уголь­ник SLO  — пря­мо­уголь­ный,

Тогда

Ответ: 28.

Пусть SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если S рав­но­уда­ле­на от сто­рон ABCD, то и точка H рав­но­уда­ле­на от сто­рон ABCD, сле­до­ва­тель­но, точка H  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти ABCD. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой где p  — по­лу­пе­ри­метр. На­хо­дим:

Тогда и сле­до­ва­тель­но,

С дру­гой сто­ро­ны

от­сю­да

Се­че­ние, про­ве­ден­ное через се­ре­ди­ну вы­со­ты, делит пи­ра­ми­ду на две части, одна из ко­то­рых  — пи­ра­ми­да, по­доб­ная ис­ход­ной с ко­эф­фи­ци­ен­том 1 : 2. По­это­му объем ча­стей со­став­ля­ет и от объ­е­ма ис­ход­ной пи­ра­ми­ды. Таким об­ра­зом,

Ответ: 1375.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр AH к сто­ро­не DC. Для этого про­длим сто­ро­ну DC. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая A₁H пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DH (по­сколь­ку про­ек­ция A₁H на плос­кость ос­но­ва­ния это AH). Сле­до­ва­тель­но, пря­мая A₁H яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от точки A₁ до пря­мой CD. Най­дем AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем объем приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке MSB:

Угол SHB  — пря­мой, так как угол SMH равен 45°, угол MSH также равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MSH  — рав­но­бед­рен­ный, MH  =  SH. По свой­ству пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, BH : MH  =  2 : 1, сле­до­ва­тель­но, BH : SH  =  2 : 1. Пусть SH  =  x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SHB:

Таким об­ра­зом, от­сю­да В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, его внут­рен­ние углы равны 60°. Угол AMB  — пря­мой, угол ABM равен 30°, сле­до­ва­тель­но, Пусть AM  =  a, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABM:

Таким об­ра­зом, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды SABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.